微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{2}$

解题步骤 1

化简总和。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 ${(3 i - 2)}^{2}$ 重写为 $(3 i - 2) (3 i - 2)$ 。

$(3 i - 2) (3 i - 2)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 i - 2) (3 i - 2)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$3 i (3 i - 2) - 2 (3 i - 2)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i - 2)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \cdot 3 i \cdot i + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 1.3.1.2

通过指数相加将 $i$ 乘以 $i$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1.2.1

移动 $i$ 。

$3 \cdot 3 (i \cdot i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $i$ 乘以 $i$ 。

$3 \cdot 3 i^{2} + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 i^{2} + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 1.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$9 i^{2} - 6 i - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 1.3.1.5

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$9 i^{2} - 6 i - 6 i - 2 \cdot - 2$

解题步骤 1.3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$9 i^{2} - 6 i - 6 i + 4$

解题步骤 1.3.2

从 $- 6 i$ 中减去 $6 i$ 。

$9 i^{2} - 12 i + 4$

解题步骤 1.4

重写该总和。

$\sum_{i = 1}^{7} 9 i^{2} - 12 i + 4$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{i = 1}^{7} 9 i^{2} - 12 i + 4 = 9 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} - 12 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} 4$

解题步骤 3

计算 $9 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(9) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

解题步骤 3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$9 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.2

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.2.1

将 $7$ 乘以 $8$ 。

$9 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$9 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $14$ 和 $1$ 相加。

$9 \frac{56 \cdot 15}{6}$

解题步骤 3.3.2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

将 $56$ 乘以 $15$ 。

$9 (\frac{840}{6})$

解题步骤 3.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (3) \frac{840}{6}$

解题步骤 3.3.2.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \cdot 3 \frac{840}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.2.3

约去公因数。

$3 \cdot 3 \frac{840}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.2.4

重写表达式。

$3 (\frac{840}{2})$

解题步骤 3.3.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{840}{2}$ 。

$\frac{3 \cdot 840}{2}$

解题步骤 3.3.2.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.4.1

将 $3$ 乘以 $840$ 。

$\frac{2520}{2}$

解题步骤 3.3.2.4.2

用 $2520$ 除以 $2$ 。

$1260$

解题步骤 4

计算 $12 \sum_{i = 1}^{7} i$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 4.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 12) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

解题步骤 4.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.1

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$- 12 \frac{7 \cdot 8}{2}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $7$ 乘以 $8$ 。

$- 12 (\frac{56}{2})$

解题步骤 4.3.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 6) \frac{56}{2}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot - 6 \frac{56}{2}$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$- 6 \cdot 56$

解题步骤 4.3.3

将 $- 6$ 乘以 $56$ 。

$- 336$

解题步骤 5

计算 $\sum_{i = 1}^{7} 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 5.2

将值代入公式中。

$(4) (7)$

解题步骤 5.3

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$28$

解题步骤 6

将求和的总和相加。

$1260 - 336 + 28$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

从 $1260$ 中减去 $336$ 。

$924 + 28$

解题步骤 7.2

将 $924$ 和 $28$ 相加。

$952$

微积分学 示例

微积分学示例