微积分学示例

$2^{- \tan (3 x)}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 2^{x}$ 且 $g (x) = - \tan (3 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- \tan (3 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [2^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \tan (3 x)]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$2^{u_{1}} \ln (2) \frac{d}{d x} [- \tan (3 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $- \tan (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2^{- \tan (3 x)} \ln (2) \frac{d}{d x} [- \tan (3 x)]$

解题步骤 2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \tan (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ 。

$2^{- \tan (3 x)} \ln (2) (- \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$2^{- \tan (3 x)} \ln (2) (- (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

解题步骤 3.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$2^{- \tan (3 x)} \ln (2) (- (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

解题步骤 3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2^{- \tan (3 x)} \ln (2) (- (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2^{- \tan (3 x)} \ln (2) (- \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2^{- \tan (3 x)} \ln (2) (- 3 \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2^{- \tan (3 x)} \ln (2) (- 3 \sec^{2} (3 x) \cdot 1)$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$2^{- \tan (3 x)} \ln (2) (- 3 \sec^{2} (3 x))$

解题步骤 4.4.2

重新排序 $2^{- \tan (3 x)} \ln (2) (- 3 \sec^{2} (3 x))$ 的因式。

$- 3 \cdot 2^{- \tan (3 x)} \sec^{2} (3 x) \ln (2)$

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