微积分学示例

\int (\frac{- x^{2} + x}{x^{4}}) d x

$\int (\frac{- x^{2} + x}{x^{4}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

\int \frac{- x^{2} + x}{x^{4}} d x

$\int \frac{- x^{2} + x}{x^{4}} d x$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

化简。

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解题步骤 2.1.1

从

- x^{2} + x

$- x^{2} + x$ 中分解出因数

x

$x$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从

- x^{2}

$- x^{2}$ 中分解出因数

x

$x$ 。

\int \frac{x (- x) + x}{x^{4}} d x

$\int \frac{x (- x) + x}{x^{4}} d x$

解题步骤 2.1.1.2

对

x

$x$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\int \frac{x (- x) + x^{1}}{x^{4}} d x

$\int \frac{x (- x) + x^{1}}{x^{4}} d x$

解题步骤 2.1.1.3

从

x^{1}

$x^{1}$ 中分解出因数

x

$x$ 。

\int \frac{x (- x) + x \cdot 1}{x^{4}} d x

$\int \frac{x (- x) + x \cdot 1}{x^{4}} d x$

解题步骤 2.1.1.4

从

x (- x) + x \cdot 1

$x (- x) + x \cdot 1$ 中分解出因数

x

$x$ 。

\int \frac{x (- x + 1)}{x^{4}} d x

$\int \frac{x (- x + 1)}{x^{4}} d x$

\int \frac{x (- x + 1)}{x^{4}} d x

$\int \frac{x (- x + 1)}{x^{4}} d x$

解题步骤 2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

从

x^{4}

$x^{4}$ 中分解出因数

x

$x$ 。

\int \frac{x (- x + 1)}{x \cdot x^{3}} d x

$\int \frac{x (- x + 1)}{x \cdot x^{3}} d x$

解题步骤 2.1.2.2

约去公因数。

$\int \frac{x (- x + 1)}{x \cdot x^{3}} d x$

解题步骤 2.1.2.3

重写表达式。

$\int \frac{- x + 1}{x^{3}} d x$

$\int \frac{- x + 1}{x^{3}} d x$

$\int \frac{- x + 1}{x^{3}} d x$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

通过将

$x^{3}$ 乘以

$- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (- x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将

${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (- x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2.2

将

$3$ 乘以

$- 1$ 。

$\int (- x + 1) x^{- 3} d x$

$\int (- x + 1) x^{- 3} d x$

$\int (- x + 1) x^{- 3} d x$

$\int (- x + 1) x^{- 3} d x$

解题步骤 3

乘以

$(- x + 1) x^{- 3}$ 。

$\int - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

通过指数相加将

$x$ 乘以

$x^{- 3}$ 。

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解题步骤 4.1.1

移动

$x^{- 3}$ 。

$\int - (x^{- 3} x) + 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 4.1.2

将

$x^{- 3}$ 乘以

$x$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$\int - (x^{- 3} x^{1}) + 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int - x^{- 3 + 1} + 1 x^{- 3} d x$

$\int - x^{- 3 + 1} + 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 4.1.3

将

$- 3$ 和

$1$ 相加。

$\int - x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

$\int - x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 4.2

将

$x^{- 3}$ 乘以

$1$ 。

$\int - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

$\int - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x$

解题步骤 6

由于

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$- 1$ 移到积分外。

$- \int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x$

解题步骤 7

根据幂法则，

$x^{- 2}$ 对

$x$ 的积分是

$- x^{- 1}$ 。

$- (- x^{- 1} + C) + \int x^{- 3} d x$

解题步骤 8

根据幂法则，

$x^{- 3}$ 对

$x$ 的积分是

$- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$- - \frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$1 \frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

解题步骤 9.2.2

将

$\frac{1}{x}$ 乘以

$1$ 。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$