微积分学示例

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = \frac{3}{1 + x}$ 时， $V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

对 $\frac{3}{1 + x}$ 运用乘积法则。

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 3

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

解题步骤 4

将 $9$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 5

使 $u = 1 + x$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 1 + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $1 + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 5.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = 1 + x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 5.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = 1 + x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 3$

解题步骤 5.5

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 6.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $- u^{- 1}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

解题步骤 8.2.2

一的任意次幂都为一。

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

解题步骤 8.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

解题步骤 8.2.4

在公分母上合并分子。

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

解题步骤 8.2.5

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

解题步骤 8.2.6

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $9$ 。

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

解题步骤 8.2.7

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

解题步骤 8.2.8

组合 $\frac{27}{4}$ 和 $π$ 。

$V = \frac{27 π}{4}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{27 π}{4}$

小数形式：

$V = 21.20575041 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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