微积分学示例

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sin^{2} (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 4

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (x)$ 的形式。

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 9

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 9.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 9.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 9.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 10

组合 $\cos (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 12

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\sin (u_{1})$ 。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 13

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (x)$ 的形式。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 15

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 16

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 17

使 $u_{2} = 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 17.1

设 $u_{2} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 17.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 17.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 17.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 17.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 17.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 18

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 19

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 20

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

解题步骤 21

化简。

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

解题步骤 22

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 22.1

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

解题步骤 22.2

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

解题步骤 23

化简。

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解题步骤 23.1

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

解题步骤 23.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

解题步骤 23.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

解题步骤 23.4

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ 。

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解题步骤 23.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

解题步骤 23.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

解题步骤 23.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 23.6

运用分配律。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 23.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 23.8

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

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解题步骤 23.8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 23.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

解题步骤 24

重新排序项。

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

解题步骤 25

答案是函数 $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

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