微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{6} - x}{x^{3}} d x$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

化简。

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解题步骤 3.1.1

从 $x^{6} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot x^{5} - x}{x^{3}} d x$

解题步骤 3.1.1.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot x^{5} + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

解题步骤 3.1.1.3

从 $x \cdot x^{5} + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x^{3}} d x$

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x^{3}} d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 3.1.2.2

约去公因数。

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 3.1.2.3

重写表达式。

$\int \frac{x^{5} - 1}{x^{2}} d x$

$\int \frac{x^{5} - 1}{x^{2}} d x$

$\int \frac{x^{5} - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{5} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{5} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x^{5} - 1) x^{- 2} d x$

$\int (x^{5} - 1) x^{- 2} d x$

$\int (x^{5} - 1) x^{- 2} d x$

$\int (x^{5} - 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 4

乘以 $(x^{5} - 1) x^{- 2}$ 。

$\int x^{5} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{5 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 5.1.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{3} - 1 x^{- 2} d x$

$\int x^{3} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 5.2

将 $- 1 x^{- 2}$ 重写为 $- x^{- 2}$ 。

$\int x^{3} - x^{- 2} d x$

$\int x^{3} - x^{- 2} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{3} d x + \int - x^{- 2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x^{- 2} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x^{- 2} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{1}{4} x^{4} - - x^{- 1} + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + 1 x^{- 1} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $x^{- 1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$

$\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$

$\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$