微积分学示例

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

解题步骤 1

将 $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ 书写为一个函数。

$f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int x \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 6

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u$

解题步骤 7.2

将 $2$ 移到 $u^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

解题步骤 9

应用指数的基本规则。

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解题步骤 9.1

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 9.2

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 9.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 9.2.3

将负号移到分数的前面。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 11

将 $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ 重写为 $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ 。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 12

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

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