微积分学示例

$(x - 1) \cdot e^{x}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

解题步骤 3.4.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

解题步骤 4.2.2

将 $- e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$x e^{x} + 0$

解题步骤 4.2.3

将 $x e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$x e^{x}$

解题步骤 4.3

重新排序 $x e^{x}$ 的因式。

$e^{x} x$

解题步骤 4.4

将 $e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$x e^{x}$

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