微积分学示例

$\ln (x^{2} \sqrt{1 + x^{2}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 9.4

组合 $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 10

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 12

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 14

合并分数。

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解题步骤 14.1

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 14.2

组合 $\frac{2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2} x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 17

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 17.1

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{3}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 17.2

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{3}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 17.3

重写表达式。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

解题步骤 19

重新排序。

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解题步骤 19.1

将 $2$ 移到 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

解题步骤 19.2

移动 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 20

要将 $2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 21

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22

通过指数相加将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 22.1

移动 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23

化简 $2 x {(x^{2} + 1)}^{1}$ 。

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24

将 $\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 25

重新排序项。

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26

通过指数相加将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 26.1

移动 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 26.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

解题步骤 26.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 26.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 27

化简 $x^{2} {(x^{2} + 1)}^{1}$ 。

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} (x^{2} + 1)}$

解题步骤 28

化简。

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解题步骤 28.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{x^{2} (x^{2} + 1)}$

解题步骤 28.2

运用分配律。

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 28.3

化简分子。

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解题步骤 28.3.1

化简每一项。

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解题步骤 28.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 28.3.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 28.3.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 28.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 28.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 28.3.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} + 2 x^{3} + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 28.3.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} + 2 x^{3} + 2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 28.3.2

将 $x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$\frac{3 x^{3} + 2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 28.4

合并项。

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解题步骤 28.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 28.4.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{3} + 2 x}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 28.4.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{3} + 2 x}{x^{4} + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 28.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{3} + 2 x}{x^{4} + x^{2}}$

解题步骤 28.5

从 $3 x^{3} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 28.5.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x^{2}) + 2 x}{x^{4} + x^{2}}$

解题步骤 28.5.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4} + x^{2}}$

解题步骤 28.5.3

从 $x (3 x^{2}) + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x^{4} + x^{2}}$

解题步骤 28.6

从 $x^{4} + x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 28.6.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x^{2} x^{2} + x^{2}}$

解题步骤 28.6.2

乘以 $1$ 。

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 28.6.3

从 $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x^{2} (x^{2} + 1)}$

解题步骤 28.7

约去公因数。

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解题步骤 28.7.1

从 $x^{2} (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x (x (x^{2} + 1))}$

解题步骤 28.7.2

约去公因数。

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x (x (x^{2} + 1))}$

解题步骤 28.7.3

重写表达式。

$\frac{3 x^{2} + 2}{x (x^{2} + 1)}$

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