微积分学示例

$x^{3} e^{x^{2}}$

解题步骤 1

使 $u = x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u$ 。

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{u}{2}$ 和 $e^{u}$ 。

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = e^{u}$ 。

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

解题步骤 5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

解题步骤 6

化简。

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

解题步骤 7

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

解题步骤 8.2

乘以 $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ 。

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解题步骤 8.2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

解题步骤 8.2.2

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $e^{x^{2}}$ 。

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

解题步骤 8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{x^{2}}$ 。

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

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