微积分学示例

$\int x^{2} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x - 2$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x - 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int {(u_{1} + 2)}^{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} d u_{1}$

解题步骤 2

使 $u_{2} = u_{1} + 2$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = u_{1} + 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $u_{1} + 2$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 2]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $u_{1} + 2$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [2]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [2]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [2]$

解题步骤 2.1.4

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 2)}^{\frac{3}{2}} d u_{2}$

解题步骤 3

使 $u_{3} = u_{2} - 2$ 。然后使 $d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{3} = u_{2} - 2$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $u_{2} - 2$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 2]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $u_{2} - 2$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$

解题步骤 3.1.4

因为 $- 2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\int {(u_{3} + 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 ${(u_{3} + 2)}^{2}$ 重写为 $(u_{3} + 2) (u_{3} + 2)$ 。

$\int (u_{3} + 2) (u_{3} + 2) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\int (u_{3} (u_{3} + 2) + 2 (u_{3} + 2)) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 2 + 2 (u_{3} + 2)) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 2 + 2 u_{3} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.5

运用分配律。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 2) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + (2 u_{3} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.6

运用分配律。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + (2 u_{3} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.7

运用分配律。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.8

将 $u_{3}$ 和 $2$ 重新排序。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.9

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.10

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{3}}^{2 + \frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.14

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.15

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.16

在公分母上合并分子。

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.17

化简分子。

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解题步骤 4.17.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int {u_{3}}^{\frac{4 + 3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.17.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.18

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}) + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{1 + \frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.20

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.21

在公分母上合并分子。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 + 3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.22

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.23

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}) + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.24

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{1 + \frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.25

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.26

在公分母上合并分子。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 + 3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.27

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.28

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.29

将 $2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 和 $2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 相加。

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.30

移动 ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 。

$\int 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

解题步骤 6

由于 $4$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

解题步骤 7

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 。

$4 (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

解题步骤 8

由于 $4$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + 4 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

解题步骤 9

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 。

$4 (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + 4 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

解题步骤 10

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ 。

$4 (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + 4 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

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解题步骤 11.1.1

组合 $\frac{2}{7}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 。

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 4 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C$

解题步骤 11.1.2

组合 $\frac{2}{5}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 。

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C$

解题步骤 11.2

化简。

$\frac{8 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C$

解题步骤 12

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 12.1

使用 $u_{2} - 2$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{8 {(u_{2} - 2)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{8 {(u_{2} - 2)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{9} {(u_{2} - 2)}^{\frac{9}{2}} + C$

解题步骤 12.2

使用 $u_{1} + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{8 {(u_{1} + 2 - 2)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{8 {(u_{1} + 2 - 2)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{9} {(u_{1} + 2 - 2)}^{\frac{9}{2}} + C$

解题步骤 12.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{8 {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{8 {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{9} {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{9}{2}} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{8}{7} {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{5} {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{9} {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{9}{2}} + C$

微积分学 示例

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