微积分学示例

$- x^{3} y - 2 y^{2} + 4 x = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (- x^{3} y - 2 y^{2} + 4 x) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- x^{3} y - 2 y^{2} + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3} y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

$- (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- (x^{3} y' + y (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.2.5

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - 4 y y' + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - 4 y y' + 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - 4 y y' + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) - 4 y y' + 4$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$- (x^{3} y') - (3 y x^{2}) - 4 y y' + 4$

解题步骤 2.5.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{3} y' - 3 y x^{2} - 4 y y' + 4$

解题步骤 2.5.3

重新排序项。

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y - 4 y y' + 4$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y - 4 y y' + 4 = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

在等式两边都加上 $3 x^{2} y$ 。

$- x^{3} y' - 4 y y' + 4 = 3 x^{2} y$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- x^{3} y' - 4 y y' = 3 x^{2} y - 4$

解题步骤 5.2

从 $- x^{3} y' - 4 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- x^{3} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- x^{3}) - 4 y y' = 3 x^{2} y - 4$

解题步骤 5.2.2

从 $- 4 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- x^{3}) + y' (- 4 y) = 3 x^{2} y - 4$

解题步骤 5.2.3

从 $y' (- x^{3}) + y' (- 4 y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- x^{3} - 4 y) = 3 x^{2} y - 4$

解题步骤 5.3

将 $y' (- x^{3} - 4 y) = 3 x^{2} y - 4$ 中的每一项除以 $- x^{3} - 4 y$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y' (- x^{3} - 4 y) = 3 x^{2} y - 4$ 中的每一项都除以 $- x^{3} - 4 y$ 。

$\frac{y' (- x^{3} - 4 y)}{- x^{3} - 4 y} = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} - 4 y} + \frac{- 4}{- x^{3} - 4 y}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- x^{3} - 4 y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (- x^{3} - 4 y)}{- x^{3} - 4 y} = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} - 4 y} + \frac{- 4}{- x^{3} - 4 y}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} - 4 y} + \frac{- 4}{- x^{3} - 4 y}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{3 x^{2} y - 4}{- x^{3} - 4 y}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{3 x^{2} y - 4}{- (x^{3}) - 4 y}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $- 4 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{3 x^{2} y - 4}{- (x^{3}) - (4 y)}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $- (x^{3}) - (4 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{3 x^{2} y - 4}{- (x^{3} + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.5

重写负数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

将 $- (x^{3} + 4 y)$ 重写为 $- 1 (x^{3} + 4 y)$ 。

$y' = \frac{3 x^{2} y - 4}{- 1 (x^{3} + 4 y)}$

解题步骤 5.3.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 x^{2} y - 4}{x^{3} + 4 y}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y - 4}{x^{3} + 4 y}$

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