微积分学示例

$\int_{1}^{4} (3 - | x - 3 |) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{1}^{4} 3 - | x - 3 | d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} 3 d x + \int_{1}^{4} - | x - 3 | d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$3 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - | x - 3 | d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 x]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} | x - 3 | d x$

解题步骤 5

根据 $x - 3$ 在某些位置是正的和负的，来分解积分。

$3 x]_{1}^{4} - (\int_{1}^{3} - x + 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$3 x]_{1}^{4} - (\int_{1}^{3} - x d x + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 x]_{1}^{4} - (- \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

解题步骤 11

将单个积分拆分为多个积分。

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \int_{3}^{4} x d x + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

解题步骤 12

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{4} + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

解题步骤 13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4} + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

解题步骤 14

应用常数不变法则。

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4} + - 3 x]_{3}^{4})$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

组合 $\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4}$ 和 $- 3 x]_{3}^{4}$ 。

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

解题步骤 15.2

代入并化简。

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解题步骤 15.2.1

计算 $3 x$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

解题步骤 15.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

解题步骤 15.2.3

计算 $3 x$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

解题步骤 15.2.4

计算 $\frac{x^{2}}{2} - 3 x$ 在 $4$ 处和在 $3$ 处的值。

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5

化简。

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解题步骤 15.2.5.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$12 - 3 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.3

从 $12$ 中减去 $3$ 。

$9 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 - (- (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.5

一的任意次幂都为一。

$9 - (- (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.6

在公分母上合并分子。

$9 - (- \frac{9 - 1}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.7

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$9 - (- \frac{8}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.8

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.5.8.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.8.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.5.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.8.2.2

约去公因数。

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.8.2.3

重写表达式。

$9 - (- \frac{4}{1} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.8.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$9 - (- 1 \cdot 4 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.9

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$9 - (- 4 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 - (- 4 + 9 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.11

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$9 - (- 4 + 9 - 3 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.12

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$9 - (- 4 + 6 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.13

将 $- 4$ 和 $6$ 相加。

$9 - (2 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.14

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 - (2 + \frac{16}{2} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.15

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.5.15.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.15.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.5.15.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.15.2.2

约去公因数。

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.15.2.3

重写表达式。

$9 - (2 + \frac{8}{1} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.15.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$9 - (2 + 8 - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.16

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$9 - (2 + 8 - 12 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.17

从 $8$ 中减去 $12$ 。

$9 - (2 - 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.18

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 3 \cdot 3))$

解题步骤 15.2.5.19

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 9))$

解题步骤 15.2.5.20

要将 $- 9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}))$

解题步骤 15.2.5.21

组合 $- 9$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}))$

解题步骤 15.2.5.22

在公分母上合并分子。

$9 - (2 - 4 - \frac{9 - 9 \cdot 2}{2})$

解题步骤 15.2.5.23

化简分子。

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解题步骤 15.2.5.23.1

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$9 - (2 - 4 - \frac{9 - 18}{2})$

解题步骤 15.2.5.23.2

从 $9$ 中减去 $18$ 。

$9 - (2 - 4 - \frac{- 9}{2})$

解题步骤 15.2.5.24

将负号移到分数的前面。

$9 - (2 - 4 - - \frac{9}{2})$

解题步骤 15.2.5.25

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$9 - (2 - 4 + 1 (\frac{9}{2}))$

解题步骤 15.2.5.26

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $1$ 。

$9 - (2 - 4 + \frac{9}{2})$

解题步骤 15.2.5.27

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$9 - (2 - 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})$

解题步骤 15.2.5.28

组合 $- 4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$9 - (2 + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})$

解题步骤 15.2.5.29

在公分母上合并分子。

$9 - (2 + \frac{- 4 \cdot 2 + 9}{2})$

解题步骤 15.2.5.30

化简分子。

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解题步骤 15.2.5.30.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$9 - (2 + \frac{- 8 + 9}{2})$

解题步骤 15.2.5.30.2

将 $- 8$ 和 $9$ 相加。

$9 - (2 + \frac{1}{2})$

解题步骤 15.2.5.31

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$9 - (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 15.2.5.32

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$9 - (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 15.2.5.33

在公分母上合并分子。

$9 - \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}$

解题步骤 15.2.5.34

化简分子。

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解题步骤 15.2.5.34.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$9 - \frac{4 + 1}{2}$

解题步骤 15.2.5.34.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$9 - \frac{5}{2}$

解题步骤 15.2.5.35

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

解题步骤 15.2.5.36

组合 $9$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

解题步骤 15.2.5.37

在公分母上合并分子。

$\frac{9 \cdot 2 - 5}{2}$

解题步骤 15.2.5.38

化简分子。

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解题步骤 15.2.5.38.1

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{18 - 5}{2}$

解题步骤 15.2.5.38.2

从 $18$ 中减去 $5$ 。

$\frac{13}{2}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{13}{2}$

小数形式：

$6.5$

带分数形式：

$6 \frac{1}{2}$

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例