微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{1}{x + 3} + \frac{3}{x - 5}}{x + 1}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{x + 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 5}{x - 5}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} + \frac{3}{x - 5}}{x + 1}$

解题步骤 1.2

要将 $\frac{3}{x - 5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} + \frac{3}{x - 5} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}}{x + 1}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 3) (x - 5)$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{x + 3}$ 乘以 $\frac{x - 5}{x - 5}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{x - 5}{(x + 3) (x - 5)} + \frac{3}{x - 5} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}}{x + 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{3}{x - 5}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{x - 5}{(x + 3) (x - 5)} + \frac{3 (x + 3)}{(x - 5) (x + 3)}}{x + 1}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(x - 5) (x + 3)$ 的因式。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{x - 5}{(x + 3) (x - 5)} + \frac{3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 5)}}{x + 1}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{x - 5 + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 5)}}{x + 1}$

解题步骤 2

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - 1} \frac{x - 5 + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 5)} \cdot \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{x - 5 + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 5)}$ 乘以 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{x - 5 + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 1} x - 5 + 3 (x + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 5 + lim_{x \to - 1} 3 (x + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.2

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5 + lim_{x \to - 1} 3 (x + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5 + 3 lim_{x \to - 1} x + 3}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.4

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5 + 3 (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5 + 3 (lim_{x \to - 1} x + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.6

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.6.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 1 - 1 \cdot 5 + 3 (lim_{x \to - 1} x + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.6.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 1 - 1 \cdot 5 + 3 (- 1 + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.7.1.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 1 - 5 + 3 (- 1 + 3)}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.7.1.2

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 1 - 5 + 3 \cdot 2}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.7.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 1 - 5 + 6}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.7.2

从 $- 1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.2.7.3

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} (x + 3) (x - 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 3 \cdot lim_{x \to - 1} x - 5 \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 3.1.3.2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3) \cdot lim_{x \to - 1} x - 5 \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 3.1.3.3

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 3) \cdot lim_{x \to - 1} x - 5 \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 3.1.3.4

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 3) \cdot (lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 5) \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 3.1.3.5

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 3) \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5) \cdot lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 3.1.3.6

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 3) \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5) \cdot (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}$

解题步骤 3.1.3.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 3) \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5) \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

解题步骤 3.1.3.8

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.8.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(- 1 + 3) \cdot (lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5) \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

解题步骤 3.1.3.8.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(- 1 + 3) \cdot (- 1 - 1 \cdot 5) \cdot (lim_{x \to - 1} x + 1)}$

解题步骤 3.1.3.8.3

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(- 1 + 3) \cdot (- 1 - 1 \cdot 5) \cdot (- 1 + 1)}$

解题步骤 3.1.3.9

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.9.1

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{0}{2 \cdot (- 1 - 1 \cdot 5) \cdot (- 1 + 1)}$

解题步骤 3.1.3.9.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{0}{2 \cdot (- 1 - 5) \cdot (- 1 + 1)}$

解题步骤 3.1.3.9.3

从 $- 1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{2 \cdot - 6 \cdot (- 1 + 1)}$

解题步骤 3.1.3.9.4

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{0}{- 12 \cdot (- 1 + 1)}$

解题步骤 3.1.3.9.5

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{- 12 \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.9.6

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.9.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.10

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 1} \frac{x - 5 + 3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 5) (x + 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 5 + 3 (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 5 + 3 (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $x - 5 + 3 (x + 3)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [3 (x + 3)]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [3 (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [3 (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [3 (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [3 (x + 3)]$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 (x + 3)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x + 3]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + 3 \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.5.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + 3 (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.5.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.5.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.5.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 0 + 3}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.6

合并项。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{1 + 3}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.6.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5) (x + 1)]}$

解题步骤 3.3.7

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = (x + 3) (x - 5)$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}$

解题步骤 3.3.8

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}$

解题步骤 3.3.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}$

解题步骤 3.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}$

解题步骤 3.3.12

将 $x + 3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}$

解题步骤 3.3.13

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 3$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) ((x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}$

解题步骤 3.3.14

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) ((x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}$

解题步骤 3.3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) ((x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}$

解题步骤 3.3.16

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) ((x + 3) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}$

解题步骤 3.3.17

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) ((x + 3) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}$

解题步骤 3.3.18

将 $x + 3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (x + 3 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}$

解题步骤 3.3.19

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (x + 3 + (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}$

解题步骤 3.3.20

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (x + 3 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]))}$

解题步骤 3.3.21

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (x + 3 + (x - 5) (1 + 0))}$

解题步骤 3.3.22

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (x + 3 + (x - 5) \cdot 1)}$

解题步骤 3.3.23

将 $x - 5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (x + 3 + x - 5)}$

解题步骤 3.3.24

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (2 x + 3 - 5)}$

解题步骤 3.3.25

从 $3$ 中减去 $5$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) (x - 5) + (x + 1) (2 x - 2)}$

解题步骤 3.3.26

化简。

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解题步骤 3.3.26.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{(x + 3) x + (x + 3) \cdot - 5 + (x + 1) (2 x - 2)}$

解题步骤 3.3.26.2

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x \cdot x + 3 x + (x + 3) \cdot - 5 + (x + 1) (2 x - 2)}$

解题步骤 3.3.26.3

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x \cdot x + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + (x + 1) (2 x - 2)}$

解题步骤 3.3.26.4

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x \cdot x + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + (x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.5

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x \cdot x + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.6

运用分配律。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x \cdot x + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7

合并项。

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解题步骤 3.3.26.7.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{1} x + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{1} x^{1} + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{1 + 1} + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} + 3 x + x \cdot - 5 + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.5

将 $- 5$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} + 3 x - 5 \cdot x + 3 \cdot - 5 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.6

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} + 3 x - 5 x - 15 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.7

从 $3 x$ 中减去 $5 x$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 (x^{1} x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{1 + 1} + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 2 x + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.13

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 2 x - 2 \cdot x + 1 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.14

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.15

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 0 - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.16

将 $2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.17

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 x^{2} - 2 x - 15 - 2}$

解题步骤 3.3.26.7.18

从 $- 15$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 x^{2} - 2 x - 17}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x^{2} - 2 x - 17}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$4 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 x - 17}$

解题步骤 4.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$4 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 x - 17}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 17}$

解题步骤 4.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 17}$

解题步骤 4.6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$4 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 17}$

解题步骤 4.7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 17}$

解题步骤 4.8

计算 $17$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$4 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 17}$

解题步骤 5

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 17}$

解题步骤 5.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 17}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 \frac{1}{3 \cdot 1 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 17}$

解题步骤 6.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{1}{3 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 17}$

解题步骤 6.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{1}{3 + 2 - 1 \cdot 17}$

解题步骤 6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $17$ 。

$4 \frac{1}{3 + 2 - 17}$

解题步骤 6.1.5

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$4 \frac{1}{5 - 17}$

解题步骤 6.1.6

从 $5$ 中减去 $17$ 。

$4 (\frac{1}{- 12})$

解题步骤 6.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{1}{4 (- 3)}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$4 \frac{1}{4 \cdot - 3}$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{- 3}$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{3}$

小数形式：

$- 0.\overline{3}$

微积分学 示例

微积分学示例