微积分学示例

$3 x^{2} \cdot \sin (x^{3} + 2003)$

解题步骤 1

将 $3 x^{2} \cdot \sin (x^{3} + 2003)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 x^{2} \cdot \sin (x^{3} + 2003)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 3 x^{2} \cdot \sin (x^{3} + 2003) d x$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int x^{2} \cdot \sin (x^{3} + 2003) d x$

解题步骤 5

使 $u = x^{3} + 2003$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = x^{3} + 2003$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x^{3} + 2003$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2003]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $x^{3} + 2003$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2003]$

解题步骤 5.1.4

因为 $2003$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2003$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 6

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$3 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

解题步骤 8.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

解题步骤 8.2.2

重写表达式。

$1 \int \sin (u) d u$

解题步骤 8.3

将 $\int \sin (u) d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \sin (u) d u$

解题步骤 9

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$- \cos (u) + C$

解题步骤 10

使用 $x^{3} + 2003$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \cos (x^{3} + 2003) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = 3 x^{2} \cdot \sin (x^{3} + 2003)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \cos (x^{3} + 2003) + C$

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