微积分学示例

$\frac{2 x}{\sqrt{3 x - 1}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x - 1}$ 重写成 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x - 1)}^{1}}$

解题步骤 4

化简。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x - 1}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x - 1}$

解题步骤 5.2

将 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x - 1}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 3 x - 1$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - 1$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 6.3

使用 $3 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将负号移到分数的前面。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 11.4

组合 $\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{3 x - 1}$

解题步骤 12

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 13

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 15

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{3 x - 1}$

解题步骤 16

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0)}{3 x - 1}$

解题步骤 17

合并分数。

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解题步骤 17.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3}{3 x - 1}$

解题步骤 17.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 17.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 17.4

将负号移到分数的前面。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 18

要将 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 19

组合 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 20

在公分母上合并分子。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 21

通过指数相加将 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 21.1

移动 ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 21.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 21.3

在公分母上合并分子。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 21.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 21.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$2 \frac{\frac{{(3 x - 1)}^{1} \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 22

化简 ${(3 x - 1)}^{1} \cdot 2$ 。

$2 \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2 - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 23

将 $2$ 移到 $3 x - 1$ 的左侧。

$2 \frac{\frac{2 \cdot (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$

解题步骤 24

将 $\frac{\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x - 1}$ 重写为乘积形式。

$2 (\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 x - 1})$

解题步骤 25

将 $\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{3 x - 1}$ 。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x - 1)}$

解题步骤 26

对 $3 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 ({(3 x - 1)}^{1} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 28

化简表达式。

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解题步骤 28.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.2

在公分母上合并分子。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 28.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 29

组合 $2$ 和 $\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{2 (2 (3 x - 1) - 3 x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 30

约去公因数。

$\frac{2 (2 (3 x - 1) - 3 x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 31

重写表达式。

$\frac{2 (3 x - 1) - 3 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32

化简。

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解题步骤 32.1

运用分配律。

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot - 1 - 3 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32.2

化简分子。

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解题步骤 32.2.1

化简每一项。

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解题步骤 32.2.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x + 2 \cdot - 1 - 3 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 x - 2 - 3 x}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 32.2.2

从 $6 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{3 x - 2}{{(3 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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