微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3

用 $x^{3} + x$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 3.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$x$

+

$0$

解题步骤 3.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$x$

+

$0$

解题步骤 3.3

将新的商式项乘以除数。

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$x$

+

$0$

+

$x^{3}$

+

$0$

+

$x$

解题步骤 3.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 0 + x$ 中的所有符号

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$x$

+

$0$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$x$

解题步骤 3.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$x$

+

$0$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$x$

$0$

解题步骤 3.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$x$

+

$0$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$x$

$0$

+

$0$

解题步骤 3.7

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$\int x d x$

$\int x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$