微积分学示例

$y = x^{3} + x^{2} - 5$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{3} + x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 2 x + 0$

解题步骤 1.5

将 $3 x^{2} + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x + 2$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} + 2 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $x^{3} + x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 4.1.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 2 x + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $3 x^{2} + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} + 2 x$ 。

$3 x^{2} + 2 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} + 2 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} + 2 x = 0$

解题步骤 5.2

从 $3 x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x) + 2 x = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x) + x \cdot 2 = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $x (3 x) + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (3 x + 2) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $3 x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $3 x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 2 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $3 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$3 x = - 2$

解题步骤 5.5.2.2

将 $3 x = - 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $3 x = - 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 5.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 5.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2}{3}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $x (3 x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{2}{3}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - \frac{2}{3}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (0) + 2$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 2$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 5$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + {(0)}^{2} - 5$

解题步骤 11.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 5$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 - 5$

解题步骤 11.2.2.2

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$f (0) = - 5$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 5$ 。

$y = - 5$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{2}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (- \frac{2}{3}) + 2$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.1

将 $- \frac{2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$6 (\frac{- 2}{3}) + 2$

解题步骤 13.1.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{- 2}{3} + 2$

解题步骤 13.1.1.3

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{- 2}{3} + 2$

解题步骤 13.1.1.4

重写表达式。

$2 \cdot - 2 + 2$

解题步骤 13.1.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 + 2$

解题步骤 13.2

将 $- 4$ 和 $2$ 相加。

$- 2$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{2}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{2}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{2}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{2}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{3} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.1.1

对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

解题步骤 15.2.1.1.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

解题步骤 15.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

解题步骤 15.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3^{3}} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

解题步骤 15.2.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5$

解题步骤 15.2.1.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.5.1

对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} - 5$

解题步骤 15.2.1.5.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + {(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5$

解题步骤 15.2.1.6

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + 1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5$

解题步骤 15.2.1.7

将 $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{2^{2}}{3^{2}} - 5$

解题步骤 15.2.1.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{3^{2}} - 5$

解题步骤 15.2.1.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{9} - 5$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3} - 5$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 5$

解题步骤 15.2.2.3

将 $- 5$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5}{1}$

解题步骤 15.2.2.4

将 $\frac{- 5}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 15.2.2.5

将 $\frac{- 5}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.2.6

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.2.7

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{4 \cdot 3}{27} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 4 \cdot 3 - 5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 12 - 5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 5$ 乘以 $27$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 + 12 - 135}{27}$

解题步骤 15.2.5

化简表达式。

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解题步骤 15.2.5.1

将 $- 8$ 和 $12$ 相加。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 - 135}{27}$

解题步骤 15.2.5.2

从 $4$ 中减去 $135$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 131}{27}$

解题步骤 15.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{131}{27}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $- \frac{131}{27}$ 。

$y = - \frac{131}{27}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = x^{3} + x^{2} - 5$ 的局部极值。

$(0, - 5)$ 是一个局部最小值

$(- \frac{2}{3}, - \frac{131}{27})$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

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