微积分学示例

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} 3 θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

解题步骤 2

使 $u = θ^{2}$ 。然后使 $d u = 2 θ d θ$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = θ^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d θ}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $θ^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 θ$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = θ^{2}$ 中的 $θ$ 。

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $\sqrt{\frac{π}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ 。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

解题步骤 2.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

解题步骤 2.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

解题步骤 2.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.6.4.1

约去公因数。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

解题步骤 2.3.3.6.4.2

重写表达式。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

解题步骤 2.3.3.6.5

计算指数。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.4

使用根数乘积法则进行合并。

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.5

对 $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ 运用乘积法则。

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 2.3.6

化简分子。

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解题步骤 2.3.6.1

将 ${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ 重写为 $π \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.3.6.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{π \cdot 2}$ 重写成 ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 2.3.6.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

解题步骤 2.3.6.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 2.3.6.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.1.4.1

约去公因数。

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 2.3.6.1.4.2

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

解题步骤 2.3.6.1.5

化简。

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

解题步骤 2.3.6.2

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

解题步骤 2.3.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

解题步骤 2.3.8

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.8.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 2.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.8.2.2

约去公因数。

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.8.2.3

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = θ^{2}$ 中的 $θ$ 。

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

解题步骤 2.5

将 ${\sqrt{π}}^{2}$ 重写为 $π$ 。

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解题步骤 2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{π}$ 重写成 $π^{\frac{1}{2}}$ 。

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1

约去公因数。

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.5.4.2

重写表达式。

$u_{upper} = π^{1}$

解题步骤 2.5.5

化简。

$u_{upper} = π$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3 \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u$ 。

$3 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{u}{2}$ 和 $\cos (u)$ 。

$3 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

解题步骤 6

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = \cos (u)$ 。

$\frac{3}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

解题步骤 7

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{3}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $u \sin (u)$ 在 $π$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$\frac{3}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

解题步骤 8.2

计算 $- \cos (u)$ 在 $π$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$\frac{3}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

组合 $\sin (\frac{π}{2})$ 和 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{3}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

解题步骤 8.3.2

要将 $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 8.3.3

组合 $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

解题步骤 8.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

解题步骤 8.3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

解题步骤 9.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

解题步骤 9.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

解题步骤 9.4

将 $- \cos (π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

解题步骤 9.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{3}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

解题步骤 9.6

要将 $π \sin (π)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

解题步骤 9.7

组合 $π \sin (π)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

解题步骤 9.8

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

解题步骤 9.9

将 $2$ 移到 $π \sin (π)$ 的左侧。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

解题步骤 9.10

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ 。

$\frac{3 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.11

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{4}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{3 (2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π))}{4}$

解题步骤 10.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3 (2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

解题步骤 10.3

乘以 $2 π \cdot 0$ 。

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解题步骤 10.3.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (0 π - π + 2 \cos (π))}{4}$

解题步骤 10.3.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{3 (0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

解题步骤 10.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{3 (0 - π + 2 (- \cos (0)))}{4}$

解题步骤 10.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{3 (0 - π + 2 (- 1 \cdot 1))}{4}$

解题步骤 10.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (0 - π + 2 \cdot - 1)}{4}$

解题步骤 10.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (0 - π - 2)}{4}$

解题步骤 10.8

从 $0$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 (- π - 2)}{4}$

解题步骤 10.9

运用分配律。

$\frac{3 (- π) + 3 \cdot - 2}{4}$

解题步骤 10.10

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 π + 3 \cdot - 2}{4}$

解题步骤 10.11

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 3 π - 6}{4}$

解题步骤 10.12

从 $- 3 π$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 π) - 6}{4}$

解题步骤 10.13

将 $- 6$ 重写为 $- 1 (6)$ 。

$\frac{- (3 π) - 1 (6)}{4}$

解题步骤 10.14

从 $- (3 π) - 1 (6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 π + 6)}{4}$

解题步骤 10.15

将 $- (3 π + 6)$ 重写为 $- 1 (3 π + 6)$ 。

$\frac{- 1 (3 π + 6)}{4}$

解题步骤 10.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 π + 6}{4}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3 π + 6}{4}$

小数形式：

$- 3.85619449 \dots$

微积分学 示例

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