微积分学示例

$y = x^{4} + 2 x^{2} + 8 x + 3$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 2 x^{2} + 8 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} + 4 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} + 4 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} + 4 x + 8 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 4 x + 8 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $4 x^{3} + 4 x + 8$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 4 x + 8$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 4 x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $12 x^{2} + 4$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} + 4 x + 8 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 2 x^{2} + 8 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} + 4 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} + 4 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} + 4 x + 8 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 4 x + 8 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $4 x^{3} + 4 x + 8$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x + 8$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} + 4 x + 8$ 。

$4 x^{3} + 4 x + 8$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} + 4 x + 8 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} + 4 x + 8 = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $4 x^{3} + 4 x + 8$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 x + 8 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 (x) + 8 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 x + 4 \cdot 2 = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $4 (x^{3}) + 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} + x) + 4 \cdot 2 = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $4 (x^{3} + x) + 4 \cdot 2$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (x^{3} + x + 2) = 0$

解题步骤 5.2.2

因数。

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解题步骤 5.2.2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + x + 2$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 5.2.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2$

解题步骤 5.2.2.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.2.2.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{3} - 1 + 2$

解题步骤 5.2.2.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 - 1 + 2$

解题步骤 5.2.2.1.3.3

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$- 2 + 2$

解题步骤 5.2.2.1.3.4

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$0$

解题步骤 5.2.2.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + x + 2}{x + 1}$

解题步骤 5.2.2.1.5

用 $x^{3} + x + 2$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

解题步骤 5.2.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$

解题步骤 5.2.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 5.2.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 5.2.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 5.2.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 5.2.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

解题步骤 5.2.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

解题步骤 5.2.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

解题步骤 5.2.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

解题步骤 5.2.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x + 2$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

解题步骤 5.2.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

解题步骤 5.2.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - x + 2$

解题步骤 5.2.2.1.6

将 $x^{3} + x + 2$ 书写为因数的集合。

$4 ((x + 1) (x^{2} - x + 2)) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

去掉多余的括号。

$4 (x + 1) (x^{2} - x + 2) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 2 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 5.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5.5

将 $x^{2} - x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x^{2} - x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - x + 2 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3

化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 5.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.3

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 5.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 5.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $4 (x + 1) (x^{2} - x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 1$

解题步骤 8

计算在 $x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(- 1)}^{2} + 4$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \cdot 1 + 4$

解题步骤 9.1.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$12 + 4$

解题步骤 9.2

将 $12$ 和 $4$ 相加。

$16$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 1$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = - 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{2} + 8 (- 1) + 3$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{2} + 8 (- 1) + 3$

解题步骤 11.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot 1 + 8 (- 1) + 3$

解题步骤 11.2.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = 1 + 2 + 8 (- 1) + 3$

解题步骤 11.2.1.4

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 1 + 2 - 8 + 3$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (- 1) = 3 - 8 + 3$

解题步骤 11.2.2.2

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$f (- 1) = - 5 + 3$

解题步骤 11.2.2.3

将 $- 5$ 和 $3$ 相加。

$f (- 1) = - 2$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 8 x + 3$ 的局部极值。

$(- 1, - 2)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例