微积分学示例

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

解题步骤 1

将分数分解成多个分数。

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.2.3

约去公因数。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.2.4

重写表达式。

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ 和 $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2}$ 。

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.2.2.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.2.2.4

要将 $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

解题步骤 6.2.2.5

组合 $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

解题步骤 6.2.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

解题步骤 6.2.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

解题步骤 7.1.1.1.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

解题步骤 7.1.1.2

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

解题步骤 7.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

解题步骤 7.1.1.3.2

约去公因数。

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

解题步骤 7.1.1.3.3

重写表达式。

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

解题步骤 7.1.1.4

以因式分解的形式重写 $e^{2} - 1$ 。

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解题步骤 7.1.1.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

解题步骤 7.1.1.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

解题步骤 7.1.2

$e$ 约为 $2.71828182$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

解题步骤 7.1.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

解题步骤 7.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

解题步骤 7.3

在公分母上合并分子。

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

解题步骤 7.4

化简分子。

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解题步骤 7.4.1

使用 FOIL 方法展开 $(e + 1) (e - 1)$ 。

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解题步骤 7.4.1.1

运用分配律。

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

解题步骤 7.4.1.2

运用分配律。

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

解题步骤 7.4.1.3

运用分配律。

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

解题步骤 7.4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.2.1.1

将 $- 1$ 移到 $e$ 的左侧。

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

解题步骤 7.4.2.1.2

将 $- 1 e$ 重写为 $- e$ 。

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

解题步骤 7.4.2.1.3

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

解题步骤 7.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

解题步骤 7.4.2.2

将 $- e$ 和 $e$ 相加。

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

解题步骤 7.4.2.3

将 $e e$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

解题步骤 7.4.3

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{e e + 1}{2}$

解题步骤 7.4.4

乘以 $e e$ 。

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解题步骤 7.4.4.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

解题步骤 7.4.4.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

解题步骤 7.4.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

解题步骤 7.4.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

小数形式：

$4.19452804 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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