微积分学示例

$\frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$

解题步骤 1

将 $\frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

解题步骤 4

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

解题步骤 6

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 6.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u$

解题步骤 7

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

解题步骤 8

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (u)$

$- (\arcsin (u) + C)$

解题步骤 9

化简。

$- \arcsin (u) + C$

解题步骤 10

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \arcsin (\ln (x)) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \arcsin (\ln (x)) + C$

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