微积分学示例

$\int \frac{3 x (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{x \cdot (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{(7^{u_{1}} - 5) \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $7^{u_{1}} - 5$ 的左侧。

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{2 (7^{u_{1}} - 5)} d u_{1}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1})$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1}$

解题步骤 6

使 $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ 。然后使 $d u_{2} = 7^{u_{1}} \ln (7) d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{\ln (7)} d u_{2} = 7^{u_{1}} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $7^{u_{1}} - 5$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}} - 5]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $7^{u_{1}} - 5$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

解题步骤 6.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $7$ 。

$7^{u_{1}} \ln (7) + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

解题步骤 6.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1.4.1

因为 $- 5$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$7^{u_{1}} \ln (7) + 0$

解题步骤 6.1.4.2

将 $7^{u_{1}} \ln (7)$ 和 $0$ 相加。

$7^{u_{1}} \ln (7)$

解题步骤 6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (7)} d u_{2}$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (7)}$ 。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (7)} d u_{2}$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{\ln (7)}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{\ln (7)}$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{\ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{\ln (7)}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{\ln (7) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9.2

将 $2$ 移到 $\ln (7)$ 的左侧。

$\frac{3}{2 \ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{3}{2 \ln (7)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 11

化简。

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 12

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 12.1

使用 $7^{u_{1}} - 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{u_{1}} - 5 |) + C$

解题步骤 12.2

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{x^{2}} - 5 |) + C$

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