微积分学示例

$\int \sin (3 x) + e^{2 x + 1} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sin (3 x) d x + \int e^{2 x + 1} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = 3 x$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = 3 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

解题步骤 3

组合 $\sin (u_{1})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

解题步骤 5

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $- \cos (u_{1})$ 。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int e^{2 x + 1} d x$

解题步骤 6

使 $u_{2} = 2 x + 1$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = 2 x + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 6.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 10

化简。

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 11.2

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$- \frac{1}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

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