微积分学示例

$f (x) = 4 + 2 x^{6} + x^{2}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 + 2 x^{6} + x^{2} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 d x + \int 2 x^{6} d x + \int x^{2} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$4 x + C + \int 2 x^{6} d x + \int x^{2} d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$4 x + C + 2 \int x^{6} d x + \int x^{2} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$4 x + C + 2 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int x^{2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 x + C + 2 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $x^{7}$ 。

$4 x + C + 2 (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 8.2

化简。

$4 x + \frac{2 x^{7}}{7} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$4 x + \frac{2}{7} x^{7} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = 4 + 2 x^{6} + x^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $4 x + \frac{2}{7} x^{7} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

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