微积分学示例

$y = x^{5 \sin (x)}$

解题步骤 1

设 $y = f (x)$ ，对 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 两边取自然对数。

$\ln (y) = \ln (x^{5 \sin (x)})$

解题步骤 2

通过将 $5 \sin (x)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{5 \sin (x)})$ 。

$\ln (y) = 5 \sin (x) \ln (x)$

解题步骤 3

使用链式法则对表达式求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数。

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解题步骤 3.1

用链式法则对 $\ln (y)$ 的左边求导。

$\frac{y'}{y} = 5 \sin (x) \ln (x)$

解题步骤 3.2

对右边求导。

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解题步骤 3.2.1

对 $5 \sin (x) \ln (x)$ 求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \sin (x) \ln (x)]$

解题步骤 3.2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \sin (x) \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ 。

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

解题步骤 3.2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = 5 (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2.5

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2.6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = 5 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

解题步骤 3.2.7

化简。

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解题步骤 3.2.7.1

运用分配律。

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{\sin (x)}{x} + 5 (\ln (x) \cos (x))$

解题步骤 3.2.7.2

组合 $5$ 和 $\frac{\sin (x)}{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{5 \sin (x)}{x} + 5 \ln (x) \cos (x)$

解题步骤 3.2.7.3

重新排序项。

$\frac{y'}{y} = 5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}$

解题步骤 4

分离出 $y'$ ，将原函数代入右边的 $y$ 。

$y' = (5 \cos (x) \ln (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

乘以 $5 \cos (x) \ln (x)$ 。

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解题步骤 5.1.1

将 $\ln (x)$ 和 $5$ 重新排序。

$y' = (5 \cdot \ln (x) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \cdot \ln (x)$ 。

$y' = (\ln (x^{5}) \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{x}) x^{5 \sin (x)}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x)}{x} x^{5 \sin (x)}$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{5 \sin (x)}{x}$ 和 $x^{5 \sin (x)}$ 。

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}}{x}$

解题步骤 5.4

约去 $x^{5 \sin (x)}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $5 \sin (x) x^{5 \sin (x)}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x^{1}}$

解题步骤 5.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2.3

约去公因数。

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{x (5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2.4

重写表达式。

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + \frac{5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}}{1}$

解题步骤 5.4.2.5

用 $5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ 除以 $1$ 。

$y' = \ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$

解题步骤 5.5

将 $\ln (x^{5}) \cos (x) x^{5 \sin (x)} + 5 \sin (x) x^{5 \sin (x) - 1}$ 中的因式重新排序。

$y' = x^{5 \sin (x)} \ln (x^{5}) \cos (x) + 5 x^{5 \sin (x) - 1} \sin (x)$

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