微积分学示例

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - x - 2$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- x^{4} + 4 x^{2} - x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 x^{3} + 8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $- 4 x^{3} + 8 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$- 4 x^{3} + 8 x - 1$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 4 x^{3} + 8 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $- 12 x^{2} + 8$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- x^{4} + 4 x^{2} - x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 x^{3} + 8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.5.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 + 0$

解题步骤 4.1.5.2

将 $- 4 x^{3} + 8 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x - 1$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x^{3} + 8 x - 1$ 。

$- 4 x^{3} + 8 x - 1$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x^{3} + 8 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x^{3} + 8 x - 1 = 0$

解题步骤 5.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 1.4729976, 0.12600019, 1.3469974$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 1.4729976, 0.12600019, 1.3469974$

解题步骤 8

计算在 $x = - 1.4729976$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(- 1.4729976)}^{2} + 8$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $- 1.4729976$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \cdot 2.16972193 + 8$

解题步骤 9.1.2

将 $- 12$ 乘以 $2.16972193$ 。

$- 26.03666319 + 8$

解题步骤 9.2

将 $- 26.03666319$ 和 $8$ 相加。

$- 18.03666319$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 1.4729976$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 1.4729976$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = - 1.4729976$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- 1.4729976$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1.4729976) = - {(- 1.4729976)}^{4} + 4 {(- 1.4729976)}^{2} - (- 1.4729976) - 2$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $- 1.4729976$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 1.4729976) = - 1 \cdot 4.70769326 + 4 {(- 1.4729976)}^{2} - (- 1.4729976) - 2$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4.70769326$ 。

$f (- 1.4729976) = - 4.70769326 + 4 {(- 1.4729976)}^{2} - (- 1.4729976) - 2$

解题步骤 11.2.1.3

对 $- 1.4729976$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1.4729976) = - 4.70769326 + 4 \cdot 2.16972193 - (- 1.4729976) - 2$

解题步骤 11.2.1.4

将 $4$ 乘以 $2.16972193$ 。

$f (- 1.4729976) = - 4.70769326 + 8.67888773 - (- 1.4729976) - 2$

解题步骤 11.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1.4729976$ 。

$f (- 1.4729976) = - 4.70769326 + 8.67888773 + 1.4729976 - 2$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $- 4.70769326$ 和 $8.67888773$ 相加。

$f (- 1.4729976) = 3.97119446 + 1.4729976 - 2$

解题步骤 11.2.2.2

将 $3.97119446$ 和 $1.4729976$ 相加。

$f (- 1.4729976) = 5.44419206 - 2$

解题步骤 11.2.2.3

从 $5.44419206$ 中减去 $2$ 。

$f (- 1.4729976) = 3.44419206$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $3.44419206$ 。

$y = 3.44419206$

解题步骤 12

计算在 $x = 0.12600019$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(0.12600019)}^{2} + 8$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $0.12600019$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \cdot 0.01587604 + 8$

解题步骤 13.1.2

将 $- 12$ 乘以 $0.01587604$ 。

$- 0.19051258 + 8$

解题步骤 13.2

将 $- 0.19051258$ 和 $8$ 相加。

$7.80948741$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0.12600019$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0.12600019$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = 0.12600019$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $0.12600019$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.12600019) = - {(0.12600019)}^{4} + 4 {(0.12600019)}^{2} - (0.12600019) - 2$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $0.12600019$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (0.12600019) = - 1 \cdot 0.00025204 + 4 {(0.12600019)}^{2} - (0.12600019) - 2$

解题步骤 15.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0.00025204$ 。

$f (0.12600019) = - 0.00025204 + 4 {(0.12600019)}^{2} - (0.12600019) - 2$

解题步骤 15.2.1.3

对 $0.12600019$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.12600019) = - 0.00025204 + 4 \cdot 0.01587604 - (0.12600019) - 2$

解题步骤 15.2.1.4

将 $4$ 乘以 $0.01587604$ 。

$f (0.12600019) = - 0.00025204 + 0.06350419 - (0.12600019) - 2$

解题步骤 15.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0.12600019$ 。

$f (0.12600019) = - 0.00025204 + 0.06350419 - 0.12600019 - 2$

解题步骤 15.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $- 0.00025204$ 和 $0.06350419$ 相加。

$f (0.12600019) = 0.06325214 - 0.12600019 - 2$

解题步骤 15.2.2.2

从 $0.06325214$ 中减去 $0.12600019$ 。

$f (0.12600019) = - 0.06274804 - 2$

解题步骤 15.2.2.3

从 $- 0.06274804$ 中减去 $2$ 。

$f (0.12600019) = - 2.06274804$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $- 2.06274804$ 。

$y = - 2.06274804$

解题步骤 16

计算在 $x = 1.3469974$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(1.3469974)}^{2} + 8$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

对 $1.3469974$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \cdot 1.81440201 + 8$

解题步骤 17.1.2

将 $- 12$ 乘以 $1.81440201$ 。

$- 21.77282422 + 8$

解题步骤 17.2

将 $- 21.77282422$ 和 $8$ 相加。

$- 13.77282422$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1.3469974$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1.3469974$ 是一个极大值

解题步骤 19

求 $x = 1.3469974$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $1.3469974$ 替换变量 $x$ 。

$f (1.3469974) = - {(1.3469974)}^{4} + 4 {(1.3469974)}^{2} - (1.3469974) - 2$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

对 $1.3469974$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (1.3469974) = - 1 \cdot 3.29205468 + 4 {(1.3469974)}^{2} - (1.3469974) - 2$

解题步骤 19.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3.29205468$ 。

$f (1.3469974) = - 3.29205468 + 4 {(1.3469974)}^{2} - (1.3469974) - 2$

解题步骤 19.2.1.3

对 $1.3469974$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (1.3469974) = - 3.29205468 + 4 \cdot 1.81440201 - (1.3469974) - 2$

解题步骤 19.2.1.4

将 $4$ 乘以 $1.81440201$ 。

$f (1.3469974) = - 3.29205468 + 7.25760807 - (1.3469974) - 2$

解题步骤 19.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1.3469974$ 。

$f (1.3469974) = - 3.29205468 + 7.25760807 - 1.3469974 - 2$

解题步骤 19.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 19.2.2.1

将 $- 3.29205468$ 和 $7.25760807$ 相加。

$f (1.3469974) = 3.96555338 - 1.3469974 - 2$

解题步骤 19.2.2.2

从 $3.96555338$ 中减去 $1.3469974$ 。

$f (1.3469974) = 2.61855598 - 2$

解题步骤 19.2.2.3

从 $2.61855598$ 中减去 $2$ 。

$f (1.3469974) = 0.61855598$

解题步骤 19.2.3

最终答案为 $0.61855598$ 。

$y = 0.61855598$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - x - 2$ 的局部极值。

$(- 1.4729976, 3.44419206)$ 是一个局部最大值

$(0.12600019, - 2.06274804)$ 是一个局部最小值

$(1.3469974, 0.61855598)$ 是一个局部最大值

解题步骤 21

微积分学 示例

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