微积分学示例

$y = {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 2 \tan^{3} (2 x) - 1$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

解题步骤 1.3

使用 $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

解题步骤 2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

解题步骤 3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

解题步骤 5.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

解题步骤 6.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

解题步骤 6.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x) - 1]$

解题步骤 6.3

根据加法法则， $2 \tan^{3} (2 x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 \tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 6.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \tan^{3} (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x)]$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \tan (2 x)$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\tan (2 x)$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 7.3

使用 $\tan (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (3 \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 8

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 (\tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 9.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 9.2

$\tan (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{3})$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 9.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 10

求微分。

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解题步骤 10.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 10.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 10.4

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 10.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) + 0)$

解题步骤 10.6

化简项。

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解题步骤 10.6.1

将 $12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

解题步骤 10.6.2

组合 $12$ 和 $\frac{1}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

解题步骤 10.6.3

组合 $\tan^{2} (2 x)$ 和 $\frac{12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}} \sec^{2} (2 x)$

解题步骤 10.6.4

组合 $\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $\sec^{2} (2 x)$ 。

$\frac{\tan^{2} (2 x) \cdot 12 \sec^{2} (2 x)}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.6.5

将 $12$ 移到 $\tan^{2} (2 x)$ 的左侧。

$\frac{12 \cdot \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.6.6

从 $12 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11

约去公因数。

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解题步骤 11.1

从 $3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 ({(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 11.2

约去公因数。

$\frac{3 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))}{3 {(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.3

重写表达式。

$\frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{{(2 \tan^{3} (2 x) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 12

重新排序项。

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)}{{(- 1 + 2 \tan^{3} (2 x))}^{\frac{2}{3}}}$

微积分学 示例

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