微积分学示例

$\frac{1}{1 + \sin (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ 重写为 ${(1 + \sin (x))}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sin (x))}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 1 + \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + \sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $1 + \sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 相加。

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \cos (x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cos (x)$

解题步骤 5.2

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ 。

$- \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

微积分学 示例