微积分学示例

$\frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x^{3}} d x$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x^{3}} \cdot (d x) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $d$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\int \frac{d}{x^{3}} \cdot x d x$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{d}{x^{3}}$ 和 $x$ 。

$\int \frac{d x}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.3

约去 $x$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $d x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x d}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x d}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$\int \frac{x d}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$\int \frac{d}{x^{2}} d x$

$\int \frac{d}{x^{2}} d x$

$\int \frac{d}{x^{2}} d x$

$\int \frac{d}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $d$ 移到积分外。

$d \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$d \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 6.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$d \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$d \int x^{- 2} d x$

$d \int x^{- 2} d x$

$d \int x^{- 2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$d (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $d (- x^{- 1} + C)$ 重写为 $d (- \frac{1}{x}) + C$ 。

$d (- \frac{1}{x}) + C$

解题步骤 8.2

组合 $d$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$- \frac{d}{x} + C$

$- \frac{d}{x} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x^{3}} \cdot (d x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{d}{x} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$