微积分学示例

$\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{2 + \sqrt{x}})}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}$ 重写成 ${(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 1.4

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.5

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 1.5.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $2 + x^{\frac{1}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 + x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $2 + x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 2.1.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.1.3.4

在公分母上合并分子。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 2.1.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 2.1.3.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 2.1.3.6

将负号移到分数的前面。

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.4.2

合并项。

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解题步骤 2.1.4.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.4.2.2

将 $0$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 相加。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 + 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 2 + 1$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 3$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 + 4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u_{upper} = 2 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 2.5.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.3.1

约去公因数。

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 2.5.1.3.2

重写表达式。

$u_{upper} = 2 + 2^{1}$

解题步骤 2.5.1.4

计算指数。

$u_{upper} = 2 + 2$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{3}^{4} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{3}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{4})$

解题步骤 5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{3}^{4})$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $3$ 处的值。

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 6.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

约去公因数。

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 6.2.3.2

重写表达式。

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 6.2.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 6.2.5

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 6.2.6

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $3^{1}$ 移动到分子。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

解题步骤 6.2.7

通过指数相加将 $3^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $3^{- 1}$ 。

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解题步骤 6.2.7.1

移动 $3^{- 1}$ 。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

解题步骤 6.2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.2.7.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.2.7.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

解题步骤 6.2.7.5

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

解题步骤 6.2.7.6

化简分子。

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解题步骤 6.2.7.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

解题步骤 6.2.7.6.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 6.2.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (\frac{16}{3} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$2 (\frac{16}{3}) + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2

乘以 $2 (\frac{16}{3})$ 。

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解题步骤 7.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{16}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 16}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$\frac{32}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

小数形式：

$3.73846343 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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