微积分学示例

$\frac{d}{d x} (k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}})$

解题步骤 1

根据加法法则， $k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $k$ 对于 $x$ 是常数，所以 $k e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 。

$k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 x$ 。

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$k (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$k (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

解题步骤 2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$k (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$k (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

解题步骤 2.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$k (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

解题步骤 2.6

将 $- 2$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$k (- 2 e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{k^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$ 。

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = k^{2}$ 。

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$

解题步骤 4.2

将 $- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$ 中的因式重新排序。

$- 2 k e^{- 2 x} - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$

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