微积分学示例

$\int_{0}^{1} x \cdot 7^{x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = 7^{x}$ 。

$x (\frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{\ln (7)}$ 和 $7^{x}$ 。

$x \frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ 。

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{\ln (7)}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{\ln (7)}$ 移到积分外。

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (7)} \int_{0}^{1} 7^{x} d x)$

解题步骤 4

$7^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ 。

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (7)} \frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}$ 和 $\frac{1}{\ln (7)}$ 。

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1 \cdot 7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2.2

计算 $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1 \cdot 7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2.3

化简。

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解题步骤 5.2.3.1

计算指数。

$\frac{1 \cdot 7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{7 + 0}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2.3.6

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2.3.7

计算指数。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7}{\ln (7)} - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2.3.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7}{\ln (7)} - \frac{1}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7 - 1}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2.3.10

从 $7$ 中减去 $1$ 。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{6}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

解题步骤 5.2.3.11

将 $\frac{\frac{6}{\ln (7)}}{\ln (7)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{7}{\ln (7)} - (\frac{6}{\ln (7)} \cdot \frac{1}{\ln (7)})$

解题步骤 5.2.3.12

将 $\frac{6}{\ln (7)}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (7)}$ 。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln (7) \ln (7)}$

解题步骤 5.2.3.13

对 $\ln (7)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{1} (7) \ln (7)}$

解题步骤 5.2.3.14

对 $\ln (7)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{1} (7) \ln^{1} (7)}$

解题步骤 5.2.3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{{\ln (7)}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.2.3.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{2} (7)}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{2} (7)}$

小数形式：

$2.01273935 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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