微积分学示例

$\int_{- \infty}^{5} \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $- \infty$ 时的极限。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} x^{- 4} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} x^{- 3}]_{t}^{5}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 在 $5$ 处和在 $t$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{3} \cdot 5^{- 3}) + \frac{1}{3} t^{- 3}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

解题步骤 4.2.2

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{125} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{1}{125}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{125 \cdot 3} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

解题步骤 4.2.4

将 $125$ 乘以 $3$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

解题步骤 4.2.5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{- 3}$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{t^{- 3}}{3}$

解题步骤 4.2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- 3}$ 移动到分母。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{1}{3 t^{3}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.1

当 $t$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1}{375} + lim_{t \to - \infty} \frac{1}{3 t^{3}}$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{1}{375}$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{375} + lim_{t \to - \infty} \frac{1}{3 t^{3}}$

解题步骤 5.1.3

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{375} + \frac{1}{3} lim_{t \to - \infty} \frac{1}{t^{3}}$

解题步骤 5.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{t^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{375} + \frac{1}{3} \cdot 0$

解题步骤 5.3

化简答案。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{375} + 0$

解题步骤 5.3.2

将 $- \frac{1}{375}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{375}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{375}$

小数形式：

$- 0.002\overline{6}$

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