微积分学示例

$y = \arccos (\sqrt{1 - x})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x}$ 重写成 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\arccos ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arccos (x)$ 且 $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\arccos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

将 ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x)}^{1}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

化简。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - x$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 5.3

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 10.4

将 $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x)}}$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 11

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 12

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 13

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 14

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 15

乘。

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解题步骤 15.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 15.2

将 $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}} \cdot 1$

解题步骤 17

将 $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x)}}$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

运用分配律。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 \cdot 1 - - x}}$

解题步骤 18.2

合并项。

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解题步骤 18.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 - - x}}$

解题步骤 18.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + 1 x}}$

解题步骤 18.2.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + x}}$

解题步骤 18.2.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{0 + x}}$

解题步骤 18.2.5

将 $0$ 和 $x$ 相加。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$

解题步骤 18.3

将 $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 18.4

合并和化简分母。

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解题步骤 18.4.1

将 $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 18.4.2

移动 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

解题步骤 18.4.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

解题步骤 18.4.4

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

解题步骤 18.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 18.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 18.4.7

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 18.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 18.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 18.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 18.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.4.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 18.4.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

解题步骤 18.4.7.5

化简。

$\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 18.5

将 $\frac{\sqrt{x}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\sqrt{x}}{2 x {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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