微积分学示例

$\frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

解题步骤 4.2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

解题步骤 4.2.3

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

解题步骤 4.2.3.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

解题步骤 4.2.3.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

解题步骤 4.2.3.4

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

解题步骤 4.2.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.5.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

解题步骤 4.2.3.5.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

解题步骤 4.2.3.6

将负号移到分数的前面。

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- \frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$ 重写为 $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ 。

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 6.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

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