微积分学示例

$x + \sqrt{7 x - 3}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x + \sqrt{7 x - 3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 x - 3}$ 重写成 ${(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [{(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 7 x - 3$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x - 3$ 。

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

解题步骤 2.2.3

使用 $7 x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $7 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 2.4

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 2.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 2.11

将负号移到分数的前面。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

解题步骤 2.12

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (7 + 0)$

解题步骤 2.13

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 7$

解题步骤 2.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$1 + \frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 7$

解题步骤 2.15

组合 $\frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $7$ 。

$1 + \frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 7}{2}$

解题步骤 2.16

将 $7$ 移到 ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$1 + \frac{7 \cdot {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$1 + \frac{7}{2 {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

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