微积分学示例

$6 - | 6 - 4 x |$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $6 - | 6 - 4 x |$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- | 6 - 4 x |]$ 。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- | 6 - 4 x |]$

解题步骤 1.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- | 6 - 4 x |]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- | 6 - 4 x |]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- | 6 - 4 x |$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [| 6 - 4 x |]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [| 6 - 4 x |]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = 6 - 4 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 - 4 x$ 。

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [6 - 4 x])$

解题步骤 2.2.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [6 - 4 x])$

解题步骤 2.2.3

使用 $6 - 4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - (\frac{6 - 4 x}{| 6 - 4 x |} \frac{d}{d x} [6 - 4 x])$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $6 - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$0 - (\frac{6 - 4 x}{| 6 - 4 x |} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 4 x]))$

解题步骤 2.4

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 - (\frac{6 - 4 x}{| 6 - 4 x |} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]))$

解题步骤 2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - (\frac{6 - 4 x}{| 6 - 4 x |} (0 - 4 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - (\frac{6 - 4 x}{| 6 - 4 x |} (0 - 4 \cdot 1))$

解题步骤 2.7

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$0 - (\frac{6 - 4 x}{| 6 - 4 x |} (0 - 4))$

解题步骤 2.8

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$0 - (\frac{6 - 4 x}{| 6 - 4 x |} \cdot - 4)$

解题步骤 2.9

组合 $\frac{6 - 4 x}{| 6 - 4 x |}$ 和 $- 4$ 。

$0 - \frac{(6 - 4 x) \cdot - 4}{| 6 - 4 x |}$

解题步骤 2.10

将 $- 4$ 移到 $6 - 4 x$ 的左侧。

$0 - \frac{- 4 \cdot (6 - 4 x)}{| 6 - 4 x |}$

解题步骤 2.11

将负号移到分数的前面。

$0 - - \frac{4 (6 - 4 x)}{| 6 - 4 x |}$

解题步骤 2.12

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 \frac{4 (6 - 4 x)}{| 6 - 4 x |}$

解题步骤 2.13

将 $\frac{4 (6 - 4 x)}{| 6 - 4 x |}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{4 (6 - 4 x)}{| 6 - 4 x |}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$0 + \frac{4 \cdot 6 + 4 (- 4 x)}{| 6 - 4 x |}$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$0 + \frac{24 + 4 (- 4 x)}{| 6 - 4 x |}$

解题步骤 3.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$0 + \frac{24 - 16 x}{| 6 - 4 x |}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{24 - 16 x}{| 6 - 4 x |}$ 相加。

$\frac{24 - 16 x}{| 6 - 4 x |}$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$\frac{- 16 x + 24}{| 6 - 4 x |}$

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