微积分学示例

$\int \frac{1}{5 + 2 x^{6}} (12 x^{5}) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

组合 $12$ 和 $\frac{1}{5 + 2 x^{6}}$ 。

$\int \frac{12}{5 + 2 x^{6}} \cdot x^{5} d x$

解题步骤 1.2

组合 $\frac{12}{5 + 2 x^{6}}$ 和 $x^{5}$ 。

$\int \frac{12 x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

解题步骤 2

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

解题步骤 3

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{6})}^{1}$ 。

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 {(x^{6})}^{1}} d x$

解题步骤 4

使 $u_{1} = x^{6}$ 。然后使 $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = x^{6}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x^{6}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$6 x^{5}$

解题步骤 4.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$12 \int \frac{1}{5 + 2 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简。

$12 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{5 + 2 u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$12 \int \frac{1}{(5 + 2 u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

解题步骤 5.3

将 $6$ 移到 $5 + 2 u_{1}$ 的左侧。

$12 \int \frac{1}{6 (5 + 2 u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $12$ 。

$\frac{12}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 7.2

约去 $12$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 7.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 8

使 $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $5 + 2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [5 + 2 u_{1}]$

解题步骤 8.1.2

求微分。

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解题步骤 8.1.2.1

根据加法法则， $5 + 2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 8.1.2.2

因为 $5$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $5$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 8.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ 。

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解题步骤 8.1.3.1

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$0 + 2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 8.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 2 \cdot 1$

解题步骤 8.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 + 2$

解题步骤 8.1.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 8.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 9.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 11.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 11.2.2

重写表达式。

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 11.3

将 $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 13

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 13.1

使用 $5 + 2 u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| 5 + 2 u_{1} |) + C$

解题步骤 13.2

使用 $x^{6}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| 5 + 2 x^{6} |) + C$

微积分学 示例

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