微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \sec (2 x)$ 。然后使 $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \sec (2 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sec (2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sec (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $2$ 移到 $\sec (2 x) \tan (2 x)$ 的左侧。

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = \sec (2 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sec (2 \cdot 0)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = \sec (0)$

解题步骤 1.3.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = \sec (2 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{6})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 (3)})$

解题步骤 1.5.1.2

约去公因数。

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 1.5.1.3

重写表达式。

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.5.2

$\sec (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $2$ 。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{2}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{1}{2} u_{2}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 2) - \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.2.2.2

重写表达式。

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 - 1}{2}$

解题步骤 3.2.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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