微积分学示例

$e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ at $x = 1$

解题步骤 1

将 $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ 写为等式。

$y = e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$

解题步骤 2

根据加法法则， $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 4

因为 $100 e$ 对于 $x$ 是常数，所以 $100 e$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$e^{x} + 0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$e^{x} + 0 + 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 5.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [49]$

解题步骤 6

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + 0$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

合并项。

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解题步骤 7.1.1

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x} + 32 x^{3} + 0$

解题步骤 7.1.2

将 $e^{x} + 32 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x} + 32 x^{3}$

解题步骤 7.2

重新排序项。

$32 x^{3} + e^{x}$

解题步骤 8

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$32 {(1)}^{3} + e^{1}$

解题步骤 9

化简每一项。

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解题步骤 9.1

一的任意次幂都为一。

$32 \cdot 1 + e^{1}$

解题步骤 9.2

将 $32$ 乘以 $1$ 。

$32 + e^{1}$

解题步骤 9.3

化简。

$32 + e$

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