微积分学示例

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

解题步骤 1

将 $(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ 书写为一个函数。

$f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (t)$ 的不定积分求函数 $F (t)$ 。

$F (t) = \int f (t) d t$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (t) = \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t d t$

解题步骤 4

由于 $d$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $d$ 移到积分外。

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) t d t$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9}) t + 4 t^{3} t d t$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$d \int 10 t^{- 3} t + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

解题步骤 5.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$d \int 10 (t^{- 3} t^{1}) + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

解题步骤 5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$d \int 10 t^{- 3 + 1} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

解题步骤 5.5

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

解题步骤 5.6

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 (t^{- 9} t^{1}) + 4 t^{3} t d t$

解题步骤 5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9 + 1} + 4 t^{3} t d t$

解题步骤 5.8

将 $- 9$ 和 $1$ 相加。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3} t d t$

解题步骤 5.9

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 (t^{3} t^{1}) d t$

解题步骤 5.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3 + 1} d t$

解题步骤 5.11

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{4} d t$

解题步骤 5.12

移动 $12 t^{- 8}$ 。

$d \int 10 t^{- 2} + 4 t^{4} + 12 t^{- 8} d t$

解题步骤 5.13

将 $10 t^{- 2}$ 和 $4 t^{4}$ 重新排序。

$d \int 4 t^{4} + 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} d t$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$d (\int 4 t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

解题步骤 7

由于 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$d (4 \int t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

解题步骤 8

根据幂法则， $t^{4}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{5} t^{5}$ 。

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

解题步骤 9

由于 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 \int t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

解题步骤 10

根据幂法则， $t^{- 2}$ 对 $t$ 的积分是 $- t^{- 1}$ 。

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + \int 12 t^{- 8} d t)$

解题步骤 11

由于 $12$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 \int t^{- 8} d t)$

解题步骤 12

根据幂法则， $t^{- 8}$ 对 $t$ 的积分是 $- \frac{1}{7} t^{- 7}$ 。

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

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解题步骤 13.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $t^{5}$ 。

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

解题步骤 13.1.2

组合 $t^{- 7}$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{t^{- 7}}{7} + C))$

解题步骤 13.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- 7}$ 移动到分母。

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7 t^{7}} + C))$

解题步骤 13.2

化简。

$d (\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

解题步骤 13.3

重新排序项。

$d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ 的不定积分。

$F (t) =$ $d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

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