微积分学示例

$\int (3 - 2 x) \sqrt{9 x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 3 - 2 x$ ， $d v = \sqrt{9 x}$ 。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

从 $9 x$ 中分解出因数 $9$ 。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} {(9 (x))}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.2

对 $9 (x)$ 运用乘积法则。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (9^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} ({(3^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.5.2

重写表达式。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (3^{3} x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.6

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$(3 - 2 x) (\frac{2}{27} (27 x^{\frac{3}{2}})) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.7

组合 $27$ 和 $\frac{2}{27}$ 。

$(3 - 2 x) (\frac{27 \cdot 2}{27} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.8

将 $27$ 乘以 $2$ 。

$(3 - 2 x) (\frac{54}{27} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.9

组合 $\frac{54}{27}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$(3 - 2 x) \frac{54 x^{\frac{3}{2}}}{27} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.10

从 $54 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $27$ 。

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.11

约去公因数。

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解题步骤 2.11.1

从 $27$ 中分解出因数 $27$ 。

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27 (1)} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.11.2

约去公因数。

$(3 - 2 x) \frac{27 (2 x^{\frac{3}{2}})}{27 \cdot 1} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.11.3

重写表达式。

$(3 - 2 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.11.4

用 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 除以 $1$ 。

$(3 - 2 x) (2 x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 2.12

将 $2$ 移到 $3 - 2 x$ 的左侧。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{27} {(9 x)}^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{2}{27} \cdot - 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{27} \cdot - 2$ 移到积分外。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{27} \cdot - 2 \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{2}{27}$ 和 $- 2$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot - 2}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (\frac{- 4}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(9 x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4.4

从 $9 x$ 中分解出因数 $9$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(9 (x))}^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4.5

对 $9 (x)$ 运用乘积法则。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 9^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.1

约去公因数。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{2 (\frac{3}{2})} x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4.8.2

重写表达式。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 3^{3} x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4.9

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} - (- \frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 1 (\frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4.11

将 $\frac{4}{27}$ 乘以 $1$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{27} \int 27 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $27$ 移到积分外。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{27} (27 \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $27$ 和 $\frac{4}{27}$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.2

将 $27$ 乘以 $4$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{108}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.3

约去 $108$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $108$ 中分解出因数 $27$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $27$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27 (1)} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{27 \cdot 4}{27 \cdot 1} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{1} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6.3.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $2 (3 - 2 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ 重写为 $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ 。

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 4 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 8.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ 。

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{4 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

解题步骤 8.2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 8.2.4

要将 $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 8.2.5

组合 $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 8.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 8.2.7

将 $5$ 移到 $(6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{5 (6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{1}{5} (5 (6 - 4 x) x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{5}{2}}) + C$

微积分学 示例

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