微积分学示例

$4 x (1 + \ln (x))$

解题步骤 1

将 $4 x (1 + \ln (x))$ 书写为一个函数。

$f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 x (1 + \ln (x)) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int 4 x \cdot 1 + 4 x \ln (x) d x$

解题步骤 4.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\int 4 x + 4 x \ln (x) d x$

解题步骤 4.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (x)$ 。

$\int 4 x + x \ln (x^{4}) d x$

解题步骤 5

将 $4 x + x \ln (x^{4})$ 重写为 $4 x + x (4 \ln (x))$ 。

$\int 4 x + x (4 \ln (x)) d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

解题步骤 7

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x (4 \ln (x)) d x$

解题步骤 9

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x (\ln (x)) d x$

解题步骤 10

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 11.3

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 11.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 11.5

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

解题步骤 11.6

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 11.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

解题步骤 11.6.2

约去公因数。

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解题步骤 11.6.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

解题步骤 11.6.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

解题步骤 11.6.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

解题步骤 13

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

解题步骤 14.2

化简。

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}) + C$

解题步骤 14.3

化简。

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解题步骤 14.3.1

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + C$

解题步骤 14.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

解题步骤 14.4

化简。

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解题步骤 14.4.1

运用分配律。

$2 x^{2} + 4 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

解题步骤 14.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{2} + 2 (2) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

解题步骤 14.4.2.2

约去公因数。

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

解题步骤 14.4.2.3

重写表达式。

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

解题步骤 14.4.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.3.1

将 $- \frac{x^{2}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

解题步骤 14.4.3.2

约去公因数。

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

解题步骤 14.4.3.3

重写表达式。

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) - x^{2} + C$

解题步骤 14.4.4

将 $2 \ln (x) x^{2} - x^{2}$ 中的因式重新排序。

$2 x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) - x^{2} + C$

解题步骤 14.4.5

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

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