微积分学示例

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x - 2}{{(x - 2)}^{2} (x - 1)} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

解题步骤 1.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 1}$

解题步骤 1.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x - 2)}^{2} (x - 1)$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 5 x - 2) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2} (x - 1)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.5

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

解题步骤 1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{(2 x^{2} - 5 x - 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.6

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1

约去公因数。

$\frac{(2 x^{2} - 5 x - 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.6.2

用 $2 x^{2} - 5 x - 2$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.1.1

约去公因数。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = \frac{A {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.1.2

用 $(A) (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = (A) (x - 1) + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.2

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.3

将 $- 1$ 移到 $A$ 的左侧。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.4

将 $- 1 A$ 重写为 $- A$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.5

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 和 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.5.1

从 $(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 1))}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.7.5.2.1

乘以 $1$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 1))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.5.2.2

约去公因数。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 1))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.5.2.3

重写表达式。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{B (x - 2) (x - 1)}{1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.5.2.4

用 $B (x - 2) (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B (x - 2) (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.6

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + (B x + B \cdot - 2) (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.7

将 $- 2$ 移到 $B$ 的左侧。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + (B x - 2 \cdot B) (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.8

使用 FOIL 方法展开 $(B x - 2 B) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.1.7.8.1

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x (x - 1) - 2 B (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.8.2

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 - 2 B (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.8.3

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.7.9.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.9.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.7.9.1.1.1

移动 $x$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.9.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} + B x \cdot - 1 - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.9.1.2

将 $- 1$ 移到 $B x$ 的左侧。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.9.1.3

将 $- 1 (B x)$ 重写为 $- (B x)$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - (B x) - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - B x - 2 B x + 2 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.9.2

从 $- B x$ 中减去 $2 B x$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.10

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.10.1

约去公因数。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 1.1.7.10.2

用 $(C) {(x - 2)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + (C) {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 1.1.7.11

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C ((x - 2) (x - 2))$

解题步骤 1.1.7.12

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 1.1.7.12.1

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

解题步骤 1.1.7.12.2

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

解题步骤 1.1.7.12.3

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 1.1.7.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.7.13.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.13.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 1.1.7.13.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 1.1.7.13.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

解题步骤 1.1.7.13.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x^{2} - 4 x + 4)$

解题步骤 1.1.7.14

运用分配律。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x^{2} + C (- 4 x) + C \cdot 4$

解题步骤 1.1.7.15

化简。

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解题步骤 1.1.7.15.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x^{2} - 4 C x + C \cdot 4$

解题步骤 1.1.7.15.2

将 $4$ 移到 $C$ 的左侧。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x^{2} - 4 C x + 4 \cdot C$

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

解题步骤 1.1.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.8.1

移动 $B$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 x B + 2 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

解题步骤 1.1.8.2

移动 $2 B$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} - 4 C x + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.1.8.3

移动 $- A$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} - 4 C x - A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.1.8.4

移动 $- 3 x B$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 3 x B - 4 C x - A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.1.8.5

移动 $A x$ 。

$2 x^{2} - 5 x - 2 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 3 x B - 4 C x - A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = B + C$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

解题步骤 1.2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$2 = B + C$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$2 = B + C$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $2 = B + C$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $B + C = 2$ 。

$B + C = 2$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.3.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$B = 2 - C$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$B = 2 - C$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $2 - C$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $2 - C$ 替换 $- 5 = A - 3 B - 4 C$ 中所有出现的 $B$ .

$- 5 = A - 3 (2 - C) - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简 $A - 3 (2 - C) - 4 C$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$- 5 = A - 3 \cdot 2 - 3 (- C) - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- 5 = A - 6 - 3 (- C) - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- 5 = A - 6 + 3 C - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$- 5 = A - 6 + 3 C - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

从 $3 C$ 中减去 $4 C$ 。

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2 - C$ 替换 $- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$ 中所有出现的 $B$ .

$- 2 = - 1 A + 2 (2 - C) + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

解题步骤 1.3.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.4.1

化简 $- 1 A + 2 (2 - C) + 4 C$ 。

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解题步骤 1.3.2.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.4.1.1.1

将 $- 1 A$ 重写为 $- A$ 。

$- 2 = - A + 2 (2 - C) + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

解题步骤 1.3.2.4.1.1.2

运用分配律。

$- 2 = - A + 2 \cdot 2 + 2 (- C) + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

解题步骤 1.3.2.4.1.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 = - A + 4 + 2 (- C) + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

解题步骤 1.3.2.4.1.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 = - A + 4 - 2 C + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - A + 4 - 2 C + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

解题步骤 1.3.2.4.1.2

将 $- 2 C$ 和 $4 C$ 相加。

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 和 $- C$ 重新排序。

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

解题步骤 1.3.4

在 $- 5 = A - 6 - C$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

将方程重写为 $A - 6 - C = - 5$ 。

$A - 6 - C = - 5$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

解题步骤 1.3.4.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$A - C = - 5 + 6$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

解题步骤 1.3.4.2.2

在等式两边都加上 $C$ 。

$A = - 5 + 6 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

解题步骤 1.3.4.2.3

将 $- 5$ 和 $6$ 相加。

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

解题步骤 1.3.5

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1 + C$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

使用 $1 + C$ 替换 $- 2 = - A + 4 + 2 C$ 中所有出现的 $A$ .

$- 2 = - (1 + C) + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

解题步骤 1.3.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.5.2.1

化简 $- (1 + C) + 4 + 2 C$ 。

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解题步骤 1.3.5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.5.2.1.1.1

运用分配律。

$- 2 = - 1 \cdot 1 - C + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

解题步骤 1.3.5.2.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 = - 1 - C + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - 1 - C + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

解题步骤 1.3.5.2.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.3.5.2.1.2.1

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$- 2 = - C + 3 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

解题步骤 1.3.5.2.1.2.2

将 $- C$ 和 $2 C$ 相加。

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

解题步骤 1.3.6

在 $- 2 = C + 3$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

将方程重写为 $C + 3 = - 2$ 。

$C + 3 = - 2$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

解题步骤 1.3.6.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.6.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$C = - 2 - 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

解题步骤 1.3.6.2.2

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$C = - 5$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$C = - 5$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$C = - 5$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

解题步骤 1.3.7

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $- 5$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

使用 $- 5$ 替换 $A = 1 + C$ 中所有出现的 $C$ .

$A = 1 - 5$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

解题步骤 1.3.7.2

化简 $A = 1 - 5$ 。

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解题步骤 1.3.7.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.7.2.1.1

去掉圆括号。

$A = 1 - 5$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

$A = 1 - 5$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

解题步骤 1.3.7.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.7.2.2.1

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

解题步骤 1.3.7.3

使用 $- 5$ 替换 $B = - C + 2$ 中所有出现的 $C$ .

$B = - (- 5) + 2$

$A = - 4$

$C = - 5$

解题步骤 1.3.7.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.7.4.1

化简 $- (- 5) + 2$ 。

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解题步骤 1.3.7.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$B = 5 + 2$

$A = - 4$

$C = - 5$

解题步骤 1.3.7.4.1.2

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$B = 7$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = 7$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = 7$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = 7$

$A = - 4$

$C = - 5$

解题步骤 1.3.8

列出所有解。

$B = 7, A = - 4, C = - 5$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{7}{x - 2} + \frac{- 5}{x - 1}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{7}{x - 2} + \frac{- 5}{x - 1}$

解题步骤 1.5.2

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{7}{x - 2} - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- (4 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 6

使 $u_{1} = x - 2$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{1} = x - 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 6.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$- 4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.1

通过将 ${u_{1}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- 4 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 7.2

将 ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 4 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， ${u_{1}}^{- 2}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $- {u_{1}}^{- 1}$ 。

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 9

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 \int \frac{1}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 10

使 $u_{2} = x - 2$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{2} = x - 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 10.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 10.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 10.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 10.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 11

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - \int \frac{5}{x - 1} d x$

解题步骤 13

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - (5 \int \frac{1}{x - 1} d x)$

解题步骤 14

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - 5 \int \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 15

使 $u_{3} = x - 1$ 。然后使 $d u_{3} = d x$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 15.1

设 $u_{3} = x - 1$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d x}$ 。

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解题步骤 15.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 15.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 15.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 15.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 15.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 15.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - 5 \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 16

$\frac{1}{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\ln (| u_{3} |)$ 。

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - 5 (\ln (| u_{3} |) + C)$

解题步骤 17

化简。

$\frac{4}{u_{1}} + 7 \ln (| u_{2} |) - 5 \ln (| u_{3} |) + C$

解题步骤 18

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 18.1

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{4}{x - 2} + 7 \ln (| u_{2} |) - 5 \ln (| u_{3} |) + C$

解题步骤 18.2

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{4}{x - 2} + 7 \ln (| x - 2 |) - 5 \ln (| u_{3} |) + C$

解题步骤 18.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{4}{x - 2} + 7 \ln (| x - 2 |) - 5 \ln (| x - 1 |) + C$

微积分学 示例

微积分学示例