微积分学示例

$f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{- x - 2}$ 重写成 ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = - x - 2$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x - 2$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.3.3

使用 $- x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.4

根据加法法则， $- x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.7

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.10

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.11

化简分子。

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解题步骤 1.2.11.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.11.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.12

将负号移到分数的前面。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.14

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.15

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.16

组合 $\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $- 1$ 。

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.17

将 $- 1$ 移到 ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 的左侧。

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.18

将 $- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 重写为 $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.19

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.20

将负号移到分数的前面。

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.21

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.22

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.23

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.24

约去公因数。

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解题步骤 1.2.24.1

从 $3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.24.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.24.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.2.25

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.2

将 ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.2.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = - x - 2$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x - 2$ 。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3

使用 $- x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.7.2

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8

合并分数。

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解题步骤 2.8.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8.2

组合 ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = - (- \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8.3

化简表达式。

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解题步骤 2.8.3.1

将 $2$ 移到 ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - (- \frac{2 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8.3.4

将 $\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.9

根据加法法则， $- x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.13

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + 0) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.14

合并分数。

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解题步骤 2.14.1

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot - 1 + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.14.2

组合 $\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.14.3

化简表达式。

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解题步骤 2.14.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.14.3.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

解题步骤 2.16

化简表达式。

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解题步骤 2.16.1

将 $\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

解题步骤 2.16.2

将 $- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{- x - 2}$ 重写成 ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = - x - 2$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x - 2$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.3.3

使用 $- x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.4

根据加法法则， $- x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.7

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.10

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.11

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.11.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.11.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.12

将负号移到分数的前面。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.14

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.15

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.16

组合 $\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $- 1$ 。

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.17

将 $- 1$ 移到 ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 的左侧。

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.18

将 $- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 重写为 $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.19

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.20

将负号移到分数的前面。

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.21

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.22

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.23

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.24

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.24.1

从 $3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.24.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.24.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.2.25

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将 $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 5.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}$ 重写成 ${(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ 。

${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

将 ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

${(- x - 2)}^{2} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(- x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.3.3.1.1

从 $- x - 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.3.3.1.1.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

${(- (x) - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3.1.1.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

${(- (x) - 1 \cdot 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3.1.1.3

从 $- (x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

${(- (x + 2))}^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3.1.2

对 $- (x + 2)$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3.2

将 ${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ 中的每一项除以 ${(- 1)}^{2}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 ${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 ${(- 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 6.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1

约去 ${(- 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 6.3.3.2.2.1.2

用 ${(x + 2)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 6.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.2.3.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{1}$

解题步骤 6.3.3.2.3.2

用 $0$ 除以 $1$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3.3

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.3.3.4

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 2$

解题步骤 8

计算在 $x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2}{3 {(- (- 2) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简表达式。

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解题步骤 9.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{2}{3 {(2 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.3

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$- \frac{2}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 9.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{5}}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

解题步骤 9.3.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2}{0}$

解题步骤 9.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{2}{0}$

解题步骤 9.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, - 2)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(- (- 4) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简分母。

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解题步骤 10.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.2.2.1.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f' (- 4) = - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.2.2.2

最终答案为 $- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.3

将区间 $(- 2, \infty)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = - \frac{1}{{(- (0) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简分母。

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解题步骤 10.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = - \frac{1}{{(0 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.3.2.1.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.3.2.2

最终答案为 $- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.4

由于一阶导数在 $x = - 2$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.5

对于 $f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ ，不存在局部最大值和最小值。

没有局部最大值或最小值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例