微积分学示例

$y = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x}}$ 重写成 ${(\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

约去 $4$ 和 $6 + 2 x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2.3

从 $2 \cdot 3 + 2 (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2.4

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2.5

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 + x}$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.2.3

使用 $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.2.3.2.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.2.3.2.3

从 $2 \cdot 3 + 2 (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.2.3.2.4

约去公因数。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.2.3.2.5

重写表达式。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.7

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.7.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}])$

解题步骤 4.7.3

化简项。

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解题步骤 4.7.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.7.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.3.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.7.3.2.2

重写表达式。

$1 {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.7.3.3

将 ${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

解题步骤 4.8

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 + x$ 。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.9

求微分。

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解题步骤 4.9.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.9.2

将 $2$ 移到 $3 + x$ 的左侧。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.9.3

根据加法法则， $3 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.9.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.9.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.9.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.9.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10

化简。

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解题步骤 4.10.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

${(\frac{3 + x}{2 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.2

对 $\frac{3 + x}{2 x^{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.3

对 $2 x^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.4

运用分配律。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(2 \cdot 3 + 2 x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.5

运用分配律。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.6

合并项。

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解题步骤 4.10.6.1

将 ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.10.6.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.6.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.10.6.1.2.1

约去公因数。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.6.1.2.2

重写表达式。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{1}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.6.2

化简。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.6.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.6.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.6.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x^{1}) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.6.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{1 + 1} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.6.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.6.8

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.6.9

将 $\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x}$ 乘以 $\frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$ 。

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}} (6 x + x^{2})}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.10.6.10

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(3 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2} {(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.6.11

通过指数相加将 ${(3 + x)}^{2}$ 乘以 ${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.10.6.11.1

移动 ${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x ({(3 + x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 + x)}^{2})}$

解题步骤 4.10.6.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

解题步骤 4.10.6.11.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.10.6.11.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 4.10.6.11.5

在公分母上合并分子。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 4.10.6.11.6

化简分子。

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解题步骤 4.10.6.11.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

解题步骤 4.10.6.11.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.10.7

重新排序项。

$\frac{x^{2} + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.10.8

从 $x^{2} + 6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.10.8.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.10.8.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.10.8.3

从 $x \cdot x + x \cdot 6$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.10.9

约去公因数。

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.10.10

重写表达式。

$\frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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