微积分学示例

$\int \frac{\ln (10 x)}{x^{5}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

通过将 $x^{5}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int \ln (10 x) {(x^{5})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \ln (10 x) x^{5 \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \ln (10 x) x^{- 5} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (10 x)$ ， $d v = x^{- 5}$ 。

$\ln (10 x) (- \frac{1}{4 x^{4}}) - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\ln (10 x)$ 和 $\frac{1}{4 x^{4}}$ 。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{4}} \cdot \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{4 x^{4}}$ 。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{x (4 x^{4})} d x$

解题步骤 3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 (x^{1} x^{4})} d x$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{1 + 4}} d x$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \int - \frac{1}{4 x^{5}} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - - \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + 1 \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

解题步骤 5.2

将 $\int \frac{1}{4 x^{5}} d x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \int \frac{1}{4 x^{5}} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{5}} d x$

解题步骤 7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.1

通过将 $x^{5}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.2

将 ${(x^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{5 \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \int x^{- 5} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 5}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$ 重写为 $- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$ 。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{x^{4} \cdot 4}) + C$

解题步骤 9.2.2

将 $4$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{4 \cdot x^{4}}) + C$

解题步骤 9.2.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4 x^{4}}$ 。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{4 (4 x^{4})} + C$

解题步骤 9.2.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{\ln (10 x)}{4 x^{4}} - \frac{1}{16 x^{4}} + C$

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