微积分学示例

$lim_{x \to 4} {(\frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

使用极限幂法则把 ${(\frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$ 的指数 $\frac{1}{3}$ 移到极限外。

${(lim_{x \to 4} \frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

${(\frac{lim_{x \to 4} 3 x - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

${(\frac{lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 8

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 9

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 10

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 10.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 10.3

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

${(\frac{12 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

${(\frac{12 - 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.1.3

从 $12$ 中减去 $4$ 。

${(\frac{8}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

${(\frac{8}{16 + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

${(\frac{8}{16 + 12 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

${(\frac{8}{16 + 12 - 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.4

将 $16$ 和 $12$ 相加。

${(\frac{8}{28 - 1})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.5

从 $28$ 中减去 $1$ 。

${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.3

对 $\frac{8}{27}$ 运用乘积法则。

$\frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.4

化简分子。

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解题步骤 11.4.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{{(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.4.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.3.1

约去公因数。

$\frac{2^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.4.3.2

重写表达式。

$\frac{2^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.4.4

计算指数。

$\frac{2}{27^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.5

化简分母。

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解题步骤 11.5.1

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$\frac{2}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

解题步骤 11.5.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

解题步骤 11.5.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{3^{1}}$

解题步骤 11.5.4

计算指数。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{3}$

小数形式：

$0.\overline{6}$

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