微积分学示例

$2 \arctan (x)$

解题步骤 1

将 $2 \arctan (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 \arctan (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 \arctan (x) d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \arctan (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arctan (x)$ ， $d v = 1$ 。

$2 (\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 6

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 7

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 7.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 7.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

解题步骤 8.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

解题步骤 10

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

解题步骤 11

化简。

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

解题步骤 12

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\ln (| x^{2} + 1 |)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (\arctan (x) x - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

解题步骤 13.2

要将 $\arctan (x) x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\arctan (x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

解题步骤 13.3

组合 $\arctan (x) x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{\arctan (x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

解题步骤 13.4

在公分母上合并分子。

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

解题步骤 13.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.1

约去公因数。

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

解题步骤 13.5.2

重写表达式。

$\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

解题步骤 13.6

将 $2$ 移到 $\arctan (x) x$ 的左侧。

$2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

解题步骤 13.7

将 $2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |)$ 中的因式重新排序。

$2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = 2 \arctan (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

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